任何一个素数倒数的循环小数位数一定小于素数本身
一般素数倒数的小数都比较复杂,因为素数的倒数也是一个分数,所以一定是一个循环小数(除了2和5以外) ,但是素数的循环小数位数最大有多少呢,有没有可能非常大,无限长呢,这是本文要解决的问题?
素数倒数的循环小数位数说明:
1/3=0.33...,循环小数=3,循环小数位数=1
1/7=0.142857142857... ,循环小数=142857,循环小数位数=6
1/11=0.0909...,循环小数=09,循环小数位数=2
1/13=0.076923076923...,循环小数=076923,循环小数位数=6
1/17=0.05882352941176470588235294117647...,循环小数=0588235294117647,循环小数位数=16
1/19=0.052631578947368421052631578947368421...,循环小数=052631578947368421,循环小数位数=18
1/23=0.04347826086956521739130434782608695652173913...,循环小数=0434782608695652173913,循环小数位数=22
1/23=0.03448275862068965517241379310344827586206896551724137931...,循环小数=0344827586206896551724137931,循环小数位数=28
1/31=0.032258064516129032258064516129...,循环小数=032258064516129,循环小数位数=15
1/37=0.027027...,循环小数=027,循环小数位数=3
1/41=0.0243902439...,循环小数=02439,循环小数位数=5
...
1/97=0.010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567...,循环小数位数=96
从以上列表可以看出,素数倒数的循环小数位一般都比较多,但是没有看到过位数大于素数本身的情况,用程序做测试,发现1000以内的数也是如此,因此想是否可以证明一下这个结论。
以下是证明思路:
假设p是一个素数,1/p的循环小数位为x,1/p则可以表示为x/999...9 ,分母总共有x个9,
例如:
1/3=0.33...,循环小数=3,循环小数位数=1,则1/3=3/9
1/7=0.142857142857... ,循环小数=142857,循环小数位数=6,则1/7=142857/999999
1/37=0.027027...,循环小数=027,循环小数位数=3,则1/37=027/999
证明过程:
假设1/p=0.x1x2..xn......,x1x2..xn是循环小数,总共有n位,我们做一些变换:
10^n*(1/p)
=10^n*(0.x1x2..xn......)=x1x2..xn+0.x1x2..xn......
=>10^n*(0.x1x2..xn......)-0.x1x2..xn......=x1x2..xn
=>(10^n-1)*(0.x1x2..xn......)=x1x2..xn
=>0.x1x2..xn......=x1x2..xn/(10^n-1)
=>0.x1x2..xn......=x1x2..xn/999...9(总共有n-1个9)
假设K=999...9,总有p-1个9,通过上述说明,我们只要能找到一个整数x,x小于K并且1/p=x/K,则我们的命题得证。
要证明这个结论需要引用费马小定理,
参见:
百度百科:http://baike.baidu.com/view/263807.htm
费马小定理是数论中的一个重要定理,其一段内容为: 假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p)
假设p是一个素数,这里我们取a=10,(10,p)=1
则有结论
10^(p-1) ≡1(mod p)
10^(p-1)-1≡0(mod p)
10^(p-1)-1=999...9,总共有p-1个9,这里缩写为K
K≡0(mod p),因此存在一个整数x,使得
x*p=K
=>1/p=x/K
因为1/p小于1,所以x肯定也小于K,由于K由p-1个9构成,所以x的位数也小于p.
到此命题得证。
分享到:
相关推荐
RSA算法基于一个十分简单的数论事实:将两个大素数相乘十分容易,但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难,因此可以将乘积公开作为加密密钥。RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法,也易于理解和操作。...
1亿以内的质数(共5761455个数).txt
初等数论中判断一个整数是否为质数程序初等数论中判断一个整数是否为质数程序初等数论中判断一个整数是否为质数程序初等数论中判断一个整数是否为质数程序初等数论中判断一个整数是否为质数程序
初等数论中判断有理分数a比b能否表示成纯循环小数的程序初等数论中判断有理分数a比b能否表示成纯循环小数的程序初等数论中判断有理分数a比b能否表示成纯循环小数的程序初等数论中判断有理分数a比b能否表示成纯循环...
该资源适合数学系的高年级学生,是数论的重要分支。
初等数论中输出n以内的质数初等数论中输出n以内的质数初等数论中输出n以内的质数初等数论中输出n以内的质数
初等数论中.判断a比b不循环的位数的程序初等数论中.判断a比b不循环的位数的程序初等数论中.判断a比b不循环的位数的程序初等数论中.判断a比b不循环的位数的程序初等数论中.判断a比b不循环的位数的程序
Matlab在数论研究中的应用——用Matlab验证哥德巴赫猜想与孪生素数猜想
素数:素数又称质数,是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的数。例如,2、3、5、7等都是素数。素数是数学中的一个重要概念,它们在密码学、数论等领域有着广泛的应用。 二、回文素数的定义与...
两百万的素数/质数,最大素数/质数35499293,可用于与数论相关的计算。
在乘法数论中,在素数分解期间,用素数覆盖正整数可能被视为是并行系统的结果,当且仅当素数倒数的乘积的欧拉公式为真时,并行系统才能正常运行。 给出了质数小于或等于任意界限的精确公式。 可以使用Wolfram的...
华罗庚老先生的数论简介,包含数论 同余式 素数 不定方程 模变换等等
严士健编)第一章的5个小节的练习答案:①整除的概念*带余除法,②最大公因数与辗转相除法,③整除的进一步性质及最小公倍数,④素数*算术基本定理,⑤函数[x], {x}及其在数论中的一个应用。
素数又称质数,是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的数。素数在自然数中占有极其重要的地位,是数论研究的核心内容之一。素数具有无穷多个,且其分布越往后越稀疏。同时,素数还具有许多重要的...
利用初等数论的方法解决了J(n)可乘数论函数在简单数序列中的均值问题,并给出了一个有趣的渐近式,即对任意x∈R,x≥3,有渐近式Σn≤x,n∈A J(n)=Dx4+Ox4ln lnx ln()x,其中D为可计算的常数。从而丰富了数论函数的内容。...
初等数论中输出由数查出对应位置的指标的数的表的程序初等数论中输出由数查出对应位置的指标的数的表的程序初等数论中输出由数查出对应位置的指标的数的表的程序初等数论中输出由数查出对应位置的指标的数的表的程序...
这意味着,如果一个数被除了1和它本身以外的其他数整除,那么这个数就不是素数。例如,2、3、5、7都是素数,因为它们只能被1和它们本身整除。而4、6、8不是素数,因为它们除了能被1和本身整除外,还能被其他数整除。...
书中从各个不同角度对数论进行了阐述,内容包括素数、无理数、同余、费马定理、连分数、不定式、二次域、算术函数、分化等。新版修订了每章末的注解,简要介绍了数论最新的发展;增加了一章讲述椭圆曲线,这是数论中...
有趣的数论名题 ...06重一数是否是素数的证明程序 07 中国同余定理的计算例题程序 08 3x+1问题的计算程序 09 梅森数的分解程序 10 本书作者解决的费尔马直角三角形问题求解 11 FFT在大数乘法中的应用 参考文献
「BZOJ1053」反素数/「Violet5」樱花 详细题解